Родился 8 июля 1938 года в Ленинграде, в семье профессора Политехнического института.
Заслуженный артист РСФСР (31.12.1976).
Народный артист РСФСР (5.12.1986).
В школьные годы тяготел к техническим наукам, но в старших классах увлёкся театром, стал посещать драматический кружок, где играл главные роли в спектаклях. Тем не менее, после окончания школы поступил в Ленинградский химико-технологический институт. После окончания института в 1961 году он был направлен на работу в институт пластических масс.
В 1961 году в Ленинград приехали преподаватели Театрального училища имени Немировича-Данченко в поисках талантливой молодёжи. Мягков решил попробовать свои силы и, успешно пройдя три отборочных тура, был принят на учёбу.
Закончил Мягков Школу-студию МХАТ в 1965 году (курс В. П. Маркова) и был принят в труппу театра «Современник».
Одной из первых работ актёра на сцене «Современника» стала роль Дядюшки в спектакле «Дядюшкин сон» по Ф.М. Достоевскому. Именно в этой роли его заметил Элем Климов и предложил главную роль в картине «Похождения зубного врача» - дебют Мягкова в кино.
Но первой серьёзной ролью молодого артиста стала роль Алёши Карамазова в картине Ивана Пырьева «Братья Карамазовы», вышедшей на экраны 1969 году. В театре в это время Мягков был занят в спектаклях «На дне» (Барон), «Обыкновенная история», «Балалайкин и К».
В 1975 году на экраны вышел фильм Эльдара Рязанова «Ирония судьбы, или С лёгким паром». Мягков в роли Жени Лукашина очаровал своей игрой всю страну, и популярность актёра тогда была просто фантастической. Другой прекрасной ролью Мягкова у Эльдара Рязанова стал Новосельцев в комедии «Служебный роман», вышедшей в 1977 году. Вместе с Алисой Фрейндлих они составили великолепный актёрский дуэт.
В числе других фильмов с участием Мягкова заметными событиями кинематографа стали «Дни Турбиных» (1976), «Гараж» (1980), «Гонки по вертикали» (1983), «Жестокий романс» (1984).
Киноведами считается по большей части комедийным актёром, но в его активе имеются и крупные драматические роли. Среди таковых — учёный-карьерист Швырков в арт-хаусной драме Марлена Хуциева «Послесловие» (1983), где он выступил в дуэте с Ростиславом Пляттом.
В 1977 году перешёл из «Современника» во МХАТ имени Горького (с 1989 года — имени А.П. Чехова).
В 1990-х годах снимался мало, отдавая предпочтение театральной и преподавательской деятельности в Школе-студии. Среди его работ в этот период можно отметить драматическую ленту Глеба Панфилова «Мать» (1990), комедию Леонида Гайдая «На Дерибасовской хорошая погода, или На Брайтон-Бич опять идут дожди» (1992), политический детектив Дмитрия Астрахана «Контракт со смертью» (1998).
Автор нескольких детективом, по одному из них «Сивый мерин» поставлен фильм. Увлекался портретной живописью.
С 1964 года был женат на актрисе Анастасии Вознесенской.
Умер 18 февраля 2021 года.
Подробнее на Кино-Театр.РУ https://www.kino-teatr.ru/kino/acter/m/ros/2989/bio/