Naum Kleiman est né à Kichinev (Moldavie) en 1937. Il a fait ses études à la faculté d’histoire et de théorie du cinéma du VGIK (Institut national de cinéma) dans la classe de Nikolai Lebedev. Pendant ses études Kleiman a participé à la restauration de films, notamment des intertitres du film La Dame de Pique de Tchardynine (1910). Les étudiants de sa classe ont aussi aidé la veuve de Serguei Eisenstein Pera Atacheva à systématiser les archives du réalisateur. A la fin de ses études Kleiman commence son travail dans le Département du cinéma national du Gosfilmofond de l'URSS (les archives de films les plus importantes du pays). En tant que consultant scientifique il participe à la restauration des films d’Eisenstein La ligne générale/L’ancien et le nouveau, Le Cuirassé Potemkine. Avec Serguei Youtkevitch il est co-réalisateur du "film en photos" Le Pré de Bejine, reconstruction du film disparu d’Eisenstein.
En 1965 Kleiman participe à la création du Musée mémorial et scientifique de Serguei Eisenstein (Cabinet de S.M.Eisenstein), à partir de 1967 il en est le conservateur. Le Cabinet d’Eisenstein a été créé selon le testament de la veuve d’Eisenstein, qui a légué à l’Union de cinéastes de URSS toutes les affaires personnelles, documents, manuscrits, livres, dessins et photographies du réalisateur, qui restaient dans son appartement de la place Smolenskaïa à Moscou. Les archives du réalisateur sont conservées aujourd’hui dans les Archives centrales des œuvres d’art et littéraires (ЦГАЛИ), les affaires personnelles du réalisateur et sa bibliothèque, qui compte plus de 4000 livres en plusieurs langues, avec les remarques d’Eisenstein, écrits à la main, sont dans le Cabinet d’Eisenstein.
La création du musée d’Eisenstein marque aussi le début du projet du musée du cinéma. A la tête de la commission, chargée de la création du musée du cinéma, étaient Leonid Trauberg et Serguei Youtkevitch. En 1987 Le Musée du cinéma, dont Kleiman est le directeur à partir de 1992, commence son travail dans les locaux du Kinocentre à Moscou. Aujourd’hui le Cabinet d’Eisenstein est une filiale du Musée du cinéma.
Naum Kleiman a publié plusieurs récits d’Eisenstein. Il est l'un des éditeurs et auteurs des commentaires de Oeuvres d’Eisenstein en 6 livres (Избранные произведения Эйзенштейна" в 6 томах. (1964 - 71)), ainsi que d’autres livres en Russie et à l’étranger (le plus récent est La Méthode en 2 livres (двухтомник Эйзенштейна Метод, составитель и комментатор)) . Il a participé à de nombreux séminaires et conférences consacrés à Eisenstein à travers le monde, et est l'auteur et présentateur de plusieurs émissions à la télévision. Il a organisé plusieurs expositions de dessins d’Eisenstein.
Naum Kleiman est membre de l’EFA ( European Film Academy), lauréat de nombreux prix russes et étrangers, dont le prix de FIPRESCI (1987). Il est Officier de l'Ordre des Arts et des Lettres (1991).